分类讨论思想

发布时间：2022-10-03 10:57 热度：

分类讨论思想
尤建统
【内容摘要】高考对分类整合以解答题为主进行考查，为什么分类，如何分类，最后如何整合，考查考生的严谨性和周密性。本文根据分类讨论的概念型、性质型和含参型进行总结概括，并分别对三种类型作了举例和分析。
【关键词】分类讨论 整合 参数
针对分类讨论，我在此作一个简单的归纳和举例分析。
1 高考展望
1.1内容回顾
在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况加以分类，最后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它体现了“化整为零、积零为整”的思想与“归类整理”的方法。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须对参数的不同取值范围进行讨论。这称为含参型。
1.2解答方法
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
2 典例分析
例1. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. C A∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C •C ＋C •C ＋C •C ＝1084
【点评】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C －C ＝1084。
此例题属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念型。
例2.设关于 的函数 的最小值为 ，求：
（1）写出 的表达式；
（2）试确定能使 的 的值，并求此时函数 的最大值.

参 考 文 献
1 倪志香，马茂年.运用分类讨论的思想方法解题[J].数学中学教研，2008（2）：7-10
2 高三文科数学高中同步测控优化设计.南方出版社，第43页